Definicion de dominio de una funcion:
Dominio
El dominio de una función es el conjunto completo de valores posibles de la variable independiente.
En lenguaje sencillo, esta definición significa:
El dominio es el conjunto de todos los valores x posibles que harán que la función “funcione”, y generará valores reales en y.
Cuando encuentre el dominio, recuerde:
El denominador (parte inferior) de una fracción no puede ser cero
El número debajo de un signo de raíz cuadrada debe ser positivo en esta sección
Ejemplo 1a
Aquí está el gráfico de \ displaystyle {y} = \ sqrt {{{x} + {4}}} y =
x + 4
1.
:
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
X
y
Dominio: \ displaystyle {x} \ ge- {4} x≥-4
Ejemplos interactivos
No te pierdas el applet explorando estos ejemplos aquí:
Dominio y rango applet interactivo
El dominio de esta función es \ displaystyle {x} \ ge- {4} x≥-4, ya que x no puede ser menor que \ displaystyle- {4} -4. Para ver por qué, pruebe algunos números menores que \ displaystyle- {4} -4 (como \ displaystyle- {5} -5 o \ displaystyle- {10} -10) y algunos más que \ displaystyle- {4} -4 (como \ displaystyle- {2} -2 o \ displaystyle {8} 8) en su calculadora. Los únicos que “funcionan” y nos dan una respuesta son los que son mayores o iguales a \ displaystyle- {4} -4. Esto hará que el número debajo de la raíz cuadrada sea positivo.
Notas:
El círculo incluido (coloreado) en el punto \ displaystyle {\ left (- {4}, {0} \ right)} (- 4,0). Esto indica que el dominio “comienza” en este punto.
Vimos cómo dibujar gráficos similares en la sección 4, Gráfico de una función. Para una discusión más avanzada, vea también Cómo dibujar y ^ 2 = x – 2.
Cómo encontrar el dominio
En general, determinamos el dominio de cada función buscando los valores de la variable independiente (generalmente x) que podemos usar. (Por lo general, debemos evitar 0 en la parte inferior de una fracción, o valores negativos debajo del signo de raíz cuadrada).
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Distancia
El rango de una función es el conjunto completo de todos los posibles valores resultantes de la variable dependiente (y, generalmente), después de haber sustituido el dominio.
En lenguaje sencillo, la definición significa:
El rango es el resultado de los valores y que obtenemos después de sustituir todos los posibles valores de x.
Cómo encontrar el rango
El rango de una función es la dispersión de posibles valores y (valor y mínimo a valor y máximo)
Sustituye diferentes valores de x en la expresión de y para ver qué está sucediendo. (Pregúntese: ¿siempre es positivo? ¿Siempre es negativo? ¿O tal vez no es igual a ciertos valores?)
Asegúrese de buscar valores mínimos y máximos de y.
Dibuja un boceto! En matemáticas, es muy cierto que una imagen vale más que mil palabras.
Ejemplo 1b
Volvamos al ejemplo anterior, \ displaystyle {y} = \ sqrt {{{x} + {4}}} y =
x + 4
1.
.
Notamos que la curva está sobre o encima del eje horizontal. No importa qué valor de x intentemos, siempre obtendremos un valor cero o positivo de y. Decimos que el rango en este caso es y ≥ 0.
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
X
y
Rango: \ displaystyle {y} \ ge {0} y≥0
La curva continúa para siempre verticalmente, más allá de lo que se muestra en el gráfico, por lo que el rango es todos los valores no negativos de \ displaystyle {y} y.
Ejemplo 2
El gráfico de la curva y = sen x muestra el rango entre -1 y 1.
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
-1
X
y
Rango: \ displaystyle- {1} \ le {y} \ le {1} -1≤y≤1
El dominio de y = sin x es “todos los valores de x”, ya que no hay restricciones en los valores para x. (Ponga cualquier número en la función “pecado” en su calculadora. Cualquier número debería funcionar, y le dará una respuesta final entre -1 y 1.)
Del experimento de la calculadora, y de observar la curva, podemos ver que el rango es y entre -1 y 1. Podríamos escribir esto como -1 ≤ y ≤ 1.
¿De dónde vino este gráfico? Aprendemos sobre el pecado y los gráficos cos más adelante en Gráficos de sin x y cos x
Nota 1: Porque asumimos que solo se deben usar números reales para los valores de x, los números que conducen a la división por cero o a números imaginarios (que surgen de encontrar la raíz cuadrada de un número negativo) no están incluidos. El capítulo de Números complejos explica más sobre números imaginarios, pero no incluimos dichos números en este capítulo.
Nota 2: Al hacer ejemplos de raíz cuadrada, muchas personas preguntan: “¿No obtenemos 2 respuestas, una positiva y una negativa cuando encontramos una raíz cuadrada?” Una raíz cuadrada tiene como máximo un valor, no dos. Vea esta discusión: Square Root 16 – ¿Cuántas respuestas?
Nota 3: Estamos hablando del dominio y el rango de funciones, que tienen como máximo un valor y para cada valor x, no relaciones (que pueden tener más de uno).
Encontrar dominio y rango sin usar un gráfico
Siempre es mucho más fácil calcular el dominio y rango al leerlo del gráfico (pero debemos asegurarnos de acercarnos y alejarnos del gráfico para asegurarnos de que vemos todo lo que necesitamos ver). Sin embargo, no siempre tenemos acceso al software de gráficos, y dibujar un gráfico generalmente requiere conocer las discontinuidades, y así sucesivamente primero de todos modos.
Como se mencionó anteriormente, las cosas clave para verificar son:
No hay valores negativos debajo de un signo de raíz cuadrada
No hay valores cero en el denominador (abajo) de una fracción
Ejemplo 3
Encuentre el dominio y rango de la función \ displaystyle f {{\ left ({x} \ right)}} = \ frac {\ sqrt {{{x} + {2}}}} {{{x} ^ {2 } – {9}}}, f (x) =
X
2
-9
x + 2
1.
1.
sin usar un gráfico
Solución
En el numerador (arriba) de esta fracción, tenemos una raíz cuadrada. Para asegurarnos de que los valores debajo de la raíz cuadrada no sean negativos, solo podemos elegir \ displaystyle {x} x valores más que o igual a -2.
El denominador (abajo) tiene \ displaystyle {x} ^ {2} – {9} x
2
-9, que reconocemos que podemos escribir como \ displaystyle {\ left ({x} + {3} \ right)} {\ left ({x} – {3} \ right)} (x + 3) (x- 3). Por lo tanto, nuestros valores para \ displaystyle {x} x no pueden incluir \ displaystyle- {3} -3 (desde el primer paréntesis) o \ displaystyle {3} 3 (desde el segundo).
No tenemos que preocuparnos por el \ displaystyle- {3} -3 de todos modos, porque en el primer paso dcided que \ displaystyle {x} \ ge- {2} x≥-2.
Entonces el dominio para este caso es \ displaystyle {x} \ ge- {2}, {x} \ ne {3} x≥-2, x ≠ 3, que podemos escribir como \ displaystyle {\ left [- {2 }, {3} \ right)} \ cup {\ left ({3}, \ infty \ right)} [- 2,3) ∪ (3, ∞).
Para calcular el rango, consideramos la parte superior e inferior de la fracción por separado.
Numerador: If \ displaystyle {x} = – {2} x = -2, la parte superior tiene el valor \ displaystyle \ sqrt {{{2} + {2}}} = \ sqrt {{{0}}} = {0 }
2 + 2
1.
=
0
1.
= 0. Como \ displaystyle {x} x aumenta el valor de \ displaystyle- {2} -2, la parte superior también aumentará (hasta el infinito en ambos casos).
Denominador: dividimos esto en cuatro porciones:
Cuando \ displaystyle {x} = – {2} x = -2, la parte inferior es \ displaystyle {\ left (- {2} \ right)} ^ {2} – {9} = {4} – {9} = – {5} (- 2)
2
-9 = 4-9 = -5. Tenemos \ displaystyle f {{\ left (- {2} \ right)}} = \ frac {0} {{- {5}}} = {0} .f (-2) =
-5
0
1.
= 0.
Entre \ displaystyle {x} = – {2} x = -2 y \ displaystyle {x} = {3} x = 3, \ displaystyle {\ left ({x} ^ {2} – {9} \ right)} (X
2
-9) se acerca a \ displaystyle {0} 0, por lo que \ displaystyle f {{\ left ({x} \ right)}} f (x) irá a \ displaystyle- \ infty-∞ mientras se acerca a \ displaystyle {x} = {3} x = 3.
Para \ displaystyle {x}> {3} x> 3, cuando \ displaystyle {x} x es más grande que \ displaystyle {3} 3, el valor de la parte inferior es un poco más \ displaystyle {0} 0, por lo \ displaystyle f {{\ left ({x} \ right)}} f (x) será un número positivo muy grande.
Para \ displaystyle {x} x muy grande, la parte superior es grande, pero la parte inferior será mucho más grande, por lo que, en general, el valor de la función será muy pequeño.
Entonces podemos concluir que el rango es \ displaystyle {\ left (- \ infty, {0} \ right)} \ cup {\ left (\ infty, {0} \ right)} (- ∞, 0] ∪ (∞, 0).
Eche un vistazo al gráfico (que dibujamos de todos modos para comprobar que estamos en el camino correcto):
Mostrar gráfico
Resumen
En general, determinamos el dominio buscando los valores de la variable independiente (generalmente x) que podemos usar. (Tenemos que evitar 0 en la parte inferior de una fracción, o valores negativos debajo del signo de raíz cuadrada).
El rango se encuentra al encontrar los valores y resultantes después de haberlos sustituido en los posibles valores x.