matriz singular
matriz singular

Las matrices cuadradas tienen propiedades especiales que las distinguen de otras matrices. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas y columnas. Las matrices singulares son únicas y no se pueden multiplicar por ninguna otra matriz para obtener la matriz de identidad. Las matrices no singulares son invertibles y, debido a esta propiedad, se pueden usar en otros cálculos en álgebra lineal, como las descomposiciones de valores singulares. El primer paso en muchos problemas de álgebra lineal es determinar si está trabajando con una matriz singular o no singular.

Encuentra el determinante de la matriz. Si y solo si la matriz tiene un determinante de cero, la matriz es singular. Las matrices no singulares tienen determinantes distintos de cero.

Encuentra el inverso para la matriz. Si la matriz tiene un inverso, entonces la matriz multiplicada por su inversa le dará la matriz de identidad. La matriz de identidad es una matriz cuadrada con las mismas dimensiones que la matriz original con unos en la diagonal y ceros en otro lugar. Si puede encontrar un inverso para la matriz, la matriz no es singular.

Verifique que la matriz cumpla con todas las otras condiciones para que el teorema de la matriz invertible pruebe que la matriz no es singular. Para una matriz cuadrada “n por n”, la matriz debe tener un determinante distinto de cero, el rango de la matriz debe ser igual a “n”, la matriz debe tener columnas linealmente independientes y la transposición de la matriz también debe ser invertible.

 

Deje v∈Rn y suponga que (AB) x = 0.
Nuestro objetivo es demostrar que x = 0.
Deje y: = Bx∈Rn. Entonces nosotros tenemos
Ay = A (Bx) = (AB) x = 0.

Como A es no singular, esto implica que el vector y = 0.
Por lo tanto, tenemos y = Bx = 0.
Como B es no singular, esto implica además que x = 0.

Se deduce que si (AB) x = 0, entonces debemos tener x = 0.
Por definición, esto significa que la matriz AB es no singular.

(b) -1. Si AB es no singular, entonces B es no singular.
Supongamos que Bx = 0. Probamos que x = 0.
Como Bx = 0, produce eso
(AB) x = A (Bx) = A0 = 0.

Como la matriz AB es no singular, se deduce de (AB) x = 0 que x = 0.
Esto demuestra que la matriz B es no singular.

(b) -2. Si AB es no singular, entonces A es no singular.
Por la parte (1), sabemos que B es no singular, por lo tanto es invertible.
La matriz inversa B-1 y la matriz AB son ambas no singulares.
Por lo tanto, se deduce de la parte (a) que el producto de AB y B-1 también es no singular.
Así,
A = (AB) B-1
es una matriz no singular

No singular si y solo si es invertible
Para la prueba del hecho, utilizamos en la prueba de (b) -2 que una matriz es no singular si y solo si es invertible,